大家好，我是陈景序，今天我们来聊一聊如何用数学模型描述和分析传染病传播。
首先，我们要建立传染病的数学模型，描述传染病的传播过程，分析感染人数的变化规律，预测传染病高峰的到来，探索控制、根除、预防传染病传播蔓延的手段。
在流行病学中，有一类模型叫做“舱室”模型，它将人群分成若干个“舱室”，各个舱室之间会有转移率（变化率），用数学模型语言来描述整个系统，就得到一个微分方程组，但往往是没有解析解的，这就需要利用 MATLAB 进行数值求解。
舱室模型的核心要素
- S (Susceptible) 易感者：指缺乏免疫能力健康人，与感染者接触后容易受到感染；
- E (Exposed) 暴露者：指接触过感染者但暂无传染性的人，可用于存在潜伏期的传染病；
- I (Infectious) 感染者：指有传染性的病人，可以传播给 S，将其变为 E 或 I；
- R (Recovered) 治愈者：指治愈后具有免疫力的人，如终身免疫性传染病，则不会再变为 S、E 或 I，如果免疫期有限，就可以重新变为 S 类，进而可被感染。
SI模型
SI模型是最简单的模型，它只考虑总人口由感染者（I）和易感者（S）两类人群构成。根据模型假设，每个感染者每天的有效接触人数为 λS(t)，从而全部感染者 N∙I(t) 每天有效接触的易感者人数为 N∙I(t)∙λS(t)，这些易感者立即被感染成为感染者。
SI模型的求解
SI模型的微分方程是 Logistic 人口模型，利用分离变量法可求得 SI 模型的解析解。用 SI 模型可以预报传染病暴发早期患病人数的发展规律，并估算传染高峰到来的时间。
SIS模型
SIS模型是在 SI模型的基础上，增加了一条假设：患者每天被治愈的人数比例为常数 μ（治愈率）。SIS模型适用于可以治愈但治愈后基本上没有免疫力的传染病。
SIR模型
SIR模型考虑易感者、感染者、移出者三类人群的传染病模型。SIR模型适用于治愈后有了终生免疫力的传染病，如天花、流感、麻疹等。
舱室模型
舱室模型是“舱室”传染病模型的基础，可以进一步考虑更复杂的人群划分和转移，如考虑出生率、死亡率、防疫措施的作用、潜伏期、抵抗能力、考虑地域传播、考虑传播途径等。
案例：SARS的传播规律
本节以 2003 年的 SARS 疫情为例，说明如何结合传染病传播特点，划分人群并梳理转化关系，绘制转移关系图，构建微分方程组模型，并从真实的疫情数据出发，估计出接触率、感染率、移出率等模型参数。
希望通过这篇文章，大家能够对传染病数学模型有一个更深入的了解。
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