文章导读
在信号处理和通信原理中，傅里叶变换是必不可少的工具。但你有没有遇到过F(ω)和F(f)这两种表达方式？它们之间有什么区别？本文将通过余弦函数的例子，深入探讨F(ω)和F(f)的关系。
正文部分
我们在学习傅里叶变换时，通常会遇到F(ω)这种形式。但有时候，你可能会看到F(f)这样的表达，甚至在绘制频域图时，横坐标也有ω和f两种。那它们之间到底有什么区别呢？
首先，我们以余弦函数f(t)=Acosω0t为例，推导F(ω)和F(f)之间的关系。
推导F(ω)
由于f(t)=Acosω0t=A/2(e^jω0t+e^-jω0t)，我们可以将求解余弦函数傅里叶变换的问题转换为求解指数函数g(t)=e^jω0t的问题。
g(t) = e^jω0t
G(ω) = ∫(-∞,+∞)g(t)e^-jωt dt
= ∫(-∞,+∞)e^jω0te^-jωt dt
= ∫(-∞,+∞)e^-j(ω-ω0)t dt
由于上式暂时无法求出，我们引入Dirac Delta function δ(t)登场。
由于1/(2π)∫(-∞,+∞)2πδ(ω-ω0)e^jωt dω=e^jω0t=g(t)，正好说明了2πδ(ω-ω0)的傅里叶逆变换是g(t)，因此Fourier{g(t)}=G(ω)=2πδ(ω-ω0)。
推导F(ω)
得到余弦函数f(t)的傅里叶变换为：
F(ω) = A/2∫(-∞,+∞)(e^-j(ω-ω0)t+e^-j(ω+ω0)t) dt
= πA[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]
推导F(f)
接下来，我们用f代替ω，看看会出现什么情况。
g(t) = e^j2πft
G(f) = ∫(-∞,+∞)g(t)e^-j2πft dt
= ∫(-∞,+∞)e^j2πf0te^-j2πft dt
= ∫(-∞,+∞)e^-j2π(f-f0)t dt
由于1/(2π)∫(-∞,+∞)2πδ(2πf-2πf0)e^j2πft d(2πf)=e^j2πf0t=g(t)，因此G(f)=2πδ(2πf-2πf0)=δ(f-f0)。
F(f) = A/2∫(-∞,+∞)(e^-j2π(f-f0)t+e^-j2π(f+f0)t) dt
= A/2[δ(f-f0)+δ(f+f0)]
由此可见，余弦函数的F(f)幅值比F(ω)幅值低2π倍，并不是我们想当然地将自变量从ω改为f就好了，除此之外，幅值还要发生改变。
但需要注意的是，由于冲激函数得到傅里叶函数的特殊性，F(ω)和F(f)之间存在幅值变换，而对于其他函数而言，F(ω)和F(f)更像是同一个函数经过2π尺度变换前后的表现，毕竟无论在圆频率ω0还是在频率f0，信号的分量不应该发生改变。
小结与拓展
本文通过余弦函数的例子，深入探讨了傅里叶变换F(ω)和F(f)之间的关系。希望这篇文章能帮助你更好地理解傅里叶变换。
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——陈景序，websoft网络软件专家资深编辑